Razões
Vamos
considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart
com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros,
basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:
Podemos afirmar também que o kart tem a metade
do comprimento do carro de corrida.
A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.
A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.
A razão
pode também ser representada por 1:2 e significa que
cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.
|
Denominamos
de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)
o quociente |
A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo
anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão.
Exemplos:
- Dos 1200 inscritos num
concurso, passaram 240 candidatos.
Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:
- Para cada 100 convidados, 75
eram mulheres.
Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:
Observações:
1) A
razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas.
Exemplo:
Razão entre 1 e 4: 1:4 ou
ou 0,25.
Razão entre 1 e 4: 1:4 ou
2) A
razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde
que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos:
A razão entre 1 e -8 é
.
A
razão entre
é
.
Termos de uma
razão
Observe a
razão:
Na razão a:b ou
, o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente.
Veja o exemplo:
3:5 =
Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3
para 5.
Razões
inversas
Considere
as razões
.
Observe
que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja,
.
Nesse
caso, podemos afirmar que
são razões inversas.
Duas
razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.
Exemplo:
são razões inversas, pois
.
Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da
outra, e vice-versa.
Observações:
1)
Uma razão de antecedente zero não possui inversa.
2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos.
Exemplo: O inverso de
.
2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos.
Exemplo: O inverso de
Razões
equivalentes
Dada
uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte
maneira:
Multiplicando-se
ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente
de zero), obtemos uma razão equivalente.
Exemplos:
são razões equivalentes.
Razões
entre grandezas da mesma espécie
O
conceito é o seguinte:
Denomina-se
razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os números que
expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.
Exemplos:
1) Calcular
a razão entre a altura de dois anões, sabendo que o primeiro possui uma altura
h1= 1,20m e o segundo possui uma altura h2= 1,50m. A
razão entre as alturas h1 e h2 é dada por:
2) Determinar
a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo
que a quadra de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete
possui uma área de 240m2.
Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete:
Razões
entre grandezas de espécies diferentes
O
conceito é o seguinte:
Para
determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o
quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da
notação que relaciona as grandezas envolvidas.
Exemplos:
- Beatriz foi de São Paulo a
Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de
combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O
que significa essa razão?
- Solução:
Razão =
Razão
=
(lê-se "11,5 quilômetros por litro").
Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5
km.
2) Velocidade
média:
- Moacir fez o percurso Rio-São
Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O
que significa essa razão?
Solução:
Razão =
Razão
= 90 km/h (lê-se
"90 quilômetros por hora").
Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.
3) Densidade
demográfica:
- O estado do Ceará no último
censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de
145.694 km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a
área desse estado. O que significa essa razão?
Solução:
Razão =
Razão
= 46 hab/km2 (lê-se
"46 habitantes por quilômetro quadrado").
Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46
habitantes.
4) Densidade
absoluta ou massa específica:
- Um cubo de ferro de 1cm de
aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o volume
desse corpo. O que significa essa razão?
Solução:
Volume = 1cm . 1cm . 1cm
= 1cm3
Razão =
Razão
= 7,8 g/cm3 (lê-se
"7,8 gramas por centímetro cúbico").
Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g.
Proporções
Rogério
e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogério pesa 120kg, e seu cão, 40kg.
Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.
Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:
Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:
Verificamos
que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade
é uma proporção. Assim:
Proporção é uma igualdade entre duas
razões.
Elementos
de uma proporção
Dados
quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles
formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º
para o 4º. Assim:
|
|
(lê-se
"a está para b assim como c está para d")
Os números a, b, c e d são os termos da proporção,
sendo:
- b e c os meios da
proporção.
- a e d os extremos da
proporção.
Exemplo:
Dada
a proporção
, temos:
Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.
Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36
Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.
Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36
Propriedade
fundamental das proporções
Observe
as seguintes proporções:
|
|
Produto dos meios = 4.30 = 120
Produto dos extremos = 3.40 = 120 |
|
|
|
|
|
|
|
Produto dos meios = 9.20 = 180
Produto dos extremos = 4.45 = 180 |
|
|
|
|
|
|
|
Produto dos meios = 8.45 = 360
Produto dos extremos = 5.72 = 360 |
|
De
modo geral, temos que:
|
|
Daí
podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:
Em
toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Aplicações
da propriedade fundamental
Determinação
do termo desconhecido de uma proporção
Exemplos:
- Determine o valor de x na
proporção:
Solução:
5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental)
5 . x = 120
x = 24
5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental)
5 . x = 120
x = 24
Logo, o valor de x é 24.
- Determine o valor de x na
proporção:
Solução:
5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental)
5x - 15 = 8x + 4
5x - 8x = 4 + 15
-3x = 19
3x = -19
x =
5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental)
5x - 15 = 8x + 4
5x - 8x = 4 + 15
-3x = 19
3x = -19
x =
Logo, o valor de x é
.
- Os números 5, 8, 35 e x formam,
nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.
Solução:
5 . x = 8 . 35
5x = 280
x = 56
5x = 280
x = 56
Logo, o valor de x é 56.
Resolução
de problemas envolvendo proporções
Exemplo:
- Numa salina, de cada metro
cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de
sal. Para obtermos 2 m3de sal, quantos metros cúbicos de água
salgada são necessários?
Solução:
A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água
salgada.
Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:
Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:
Lembre-se
que 40dm3 = 0,04m3.
1 . 2 = 0,04 . x
0,04x = 2
x = 50 m3
0,04x = 2
x = 50 m3
Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.
Quarta
proporcional
Dados
três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta
proporcional desses números um número x tal que:
|
|
Exemplo:
- Determine a quarta proporcional
dos números 8, 12 e 6.
Solução: Indicamos
por x a quarta proporcional e armamos a proporção:
8 . x = 12 . 6
8 . x = 72
x = 9
Logo,
a quarta proporcional é 9.
Proporção
contínua
Considere
a seguinte proporção:
Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção
contínua. Assim:
Proporção
contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais.
De
um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:
|
|
Terceira
proporcional
Dados
dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira
proporcional desses números o número x tal que:
|
|
Exemplo:
Determine
a terceira proporcional dos números 20 e 10.
Solução
Solução
Indicamos
por x a terceira
proporcional e armamos a proporção:
20 . x = 10 . 10
20x = 100
x = 5
20x = 100
x = 5
Logo, a terceira proporcional é 5.
Média
geométrica ou média proporcional
Dada
uma proporção contínua
, o número b é
denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c. Exemplo:
- Determine a média geométrica
positiva entre 5 e 20.
Solução:
5 . 20 = b . b
100 = b2
b2 = 100
b =
b = 10
100 = b2
b2 = 100
b =
b = 10
Logo, a média geométrica positiva é 10.
Propriedades
das proporções
1ª
propriedade:
Numa
proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,
assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Demonstração
Considere as proporções:
Considere as proporções:
|
|
|
||
|
|
|||
|
Adicionando 1 a cada membro
obtemos:
|
|||
|
|
||
Exemplo:
- Determine x e y na proporção
Solução:
Assim:
x+y = 84 => x =
84-y => x = 84-48 =>
x=36.
Logo, x=36 e y=48.
2ª
propriedade:
Numa
proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,
assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Demonstração
Considere
as proporções:
|
|
|
||
|
|
|||
|
Subtraindo 1 a cada membro
obtemos:
|
|||
|
(Mult. os 2 membros por -1)
|
||
Exemplo:
- Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção
Solução:
Pela 2ª propriedade temos que:
x-y = 18 =>
x=18+y => x = 18+12 =>
x=30.
Logo, x=30 e y=12.
Logo, x=30 e y=12.
3ª
propriedade:
Numa
proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes,
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
Demonstração
Considere a proporção:
Considere a proporção:
Permutando
os meios, temos:
Aplicando
a 1ª propriedade, obtemos:
Permutando
os meios, finalmente obtemos:
|
|
4ª
propriedade:
Numa
proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes,
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
Demonstração
Considere a proporção:
Considere a proporção:
Permutando
os meios, temos:
Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:
Permutando
os meios, finalmente obtemos:
|
|
Exemplo:
- Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção
Solução:
Pela
4ª propriedade, temos que:
5ª
propriedade:
Numa
proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes,
assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.
assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.
Demonstração
Considere
a proporção:
Multiplicando
os dois membros por
, temos:
Assim:
Proporção múltipla
Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:
Dada a série
de razões iguais
, de acordo com
a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever:
3.2. Regra de três simples e composta.
Regra de três simples
Regra
de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam
quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar
um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela,
agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as
grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas
são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver
a equação.
Exemplos:
1) Com
uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com
motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia.
Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
|
Área (m2)
|
Energia
(Wh)
|
|
1,2
|
400
|
|
1,5
|
x
|
Identificação do tipo de relação:
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
|
|
|
Logo,
a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um
trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado
percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade
utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
|
Velocidade
(Km/h)
|
Tempo
(h)
|
|
400
|
3
|
|
480
|
x
|
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente
colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
|
|
|
Logo,
o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
3) Bianca
comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas
do mesmo tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
|
Camisetas
|
Preço
(R$)
|
|
3
|
120
|
|
5
|
x
|
Observe
que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo,
a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma
equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em
20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que
prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
|
Horas
por dia
|
Prazo
para término (dias)
|
|
8
|
20
|
|
5
|
x
|
Observe
que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo
para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Regra de três composta
A
regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas,
direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em
8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas,
quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela,
colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as
grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
|
Horas
|
Caminhões
|
Volume
|
|
8
|
20
|
160
|
|
5
|
x
|
125
|
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o
volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões.
Portanto a relação é diretamente
proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar
a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de
acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a
equação temos:
|
|
|
Logo,
serão necessários 25 caminhões.
2) Numa
fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos
carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
|
Homens
|
Carrinhos
|
Dias
|
|
8
|
20
|
5
|
|
4
|
x
|
16
|
Observe
que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o
número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação
também é diretamente proporcional (não
precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo
x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a
equação temos:
Logo,
serão montados 32 carrinhos.
Inicialmente
colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se
flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com
a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais,
como mostra a figura abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a
equação temos:
Logo,
para completar o muro serão necessários 12 dias.
Exercícios
complementares
Agora
chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses
exercícios:
1) Três torneiras enchem uma
piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2
piscinas? Resposta: 6 horas.
2) Uma equipe composta de 15
homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20
homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?
Resposta: 35 dias.
3) Vinte operários, trabalhando 8
horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo
levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir
um muro de 225m? Resposta: 15 dias.
4) Um caminhoneiro entrega uma
carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h.
Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a
uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.
5) Com uma certa quantidade de
fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos.
Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam
produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.
3.3. Porcentagem.
É
frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços,
números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
- A gasolina teve um aumento de
15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 - O cliente recebeu um desconto
de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 - Dos jogadores que jogam no
Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques
Razão
centesimal
Toda
a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão
centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas
percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
Logo,
ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
Portanto,
chegamos a seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos
uma taxa percentual a um determinado valor.
Exemplos:
- Calcular
10% de 300
- Calcular
25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
Exercícios:
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
2)
Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual
a taxa percentual de lucro obtida?
Montamos
uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou
em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de
20%.
Uma
dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.
Se,
por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor,
podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10,
que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20,
e assim por diante. Veja a tabela abaixo:
|
Acréscimo
ou Lucro
|
Fator
de Multiplicação
|
|
10%
|
1,10
|
|
15%
|
1,15
|
|
20%
|
1,20
|
|
47%
|
1,47
|
|
67%
|
1,67
|
Exemplo: Aumentando 10% no valor de
R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00
No
caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja
a tabela abaixo:
|
Desconto
|
Fator
de Multiplicação
|
|
10%
|
0,90
|
|
25%
|
0,75
|
|
34%
|
0,66
|
|
60%
|
0,40
|
|
90%
|
0,10
|
Exemplo: Descontando 10% no valor de
R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00
3.4. Juros simples.
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
Onde:
|
J = juros
P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos |
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que
deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos
pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J
= 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao
somarmos os juros ao valor principal temos o montante.
Montante
= Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
Exemplo: Calcule o montante resultante da
aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe
que expressamos a taxa i e o período n, na mesma
unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter
o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
Exercícios sobre juros simples:
1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13
% a.t. por 4 meses e 15 dias.
0.13
/ 6 = 0.02167
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
j = 1200 x 0.195 = 234
2 - Calcular os juros simples produzidos por
R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de
1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano,
quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de
capitalização simples?
Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:
Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:
2P
= P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8
meses
Vamos
considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart
com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros,
basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:
Podemos afirmar também que o kart tem a metade
do comprimento do carro de corrida.
A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.
A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.
A razão
pode também ser representada por 1:2 e significa que
cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.
|
Denominamos
de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)
o quociente |
A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo
anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão.
Exemplos:
- Dos 1200 inscritos num
concurso, passaram 240 candidatos.
Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:
- Para cada 100 convidados, 75
eram mulheres.
Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:
Observações:
1) A
razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas.
Exemplo:
Razão entre 1 e 4: 1:4 ou
ou 0,25.
Razão entre 1 e 4: 1:4 ou
2) A
razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde
que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos:
A razão entre 1 e -8 é
.
A
razão entre
é
.
Termos de uma
razão
Observe a
razão:
Na razão a:b ou
, o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente.
Veja o exemplo:
3:5 =
Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3
para 5.
Razões
inversas
Considere
as razões
.
Observe
que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja,
.
Nesse
caso, podemos afirmar que
são razões inversas.
Duas
razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.
Exemplo:
são razões inversas, pois
.
Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da
outra, e vice-versa.
Observações:
1)
Uma razão de antecedente zero não possui inversa.
2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos.
Exemplo: O inverso de
.
2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos.
Exemplo: O inverso de
Razões
equivalentes
Dada
uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte
maneira:
Multiplicando-se
ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente
de zero), obtemos uma razão equivalente.
Exemplos:
são razões equivalentes.
Razões
entre grandezas da mesma espécie
O
conceito é o seguinte:
Denomina-se
razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os números que
expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.
Exemplos:
1) Calcular
a razão entre a altura de dois anões, sabendo que o primeiro possui uma altura
h1= 1,20m e o segundo possui uma altura h2= 1,50m. A
razão entre as alturas h1 e h2 é dada por:
2) Determinar
a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo
que a quadra de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete
possui uma área de 240m2.
Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete:
Razões
entre grandezas de espécies diferentes
O
conceito é o seguinte:
Para
determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o
quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da
notação que relaciona as grandezas envolvidas.
Exemplos:
- Beatriz foi de São Paulo a
Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de
combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O
que significa essa razão?
- Solução:
Razão =
Razão
=
(lê-se "11,5 quilômetros por litro").
Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5
km.
2) Velocidade
média:
- Moacir fez o percurso Rio-São
Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O
que significa essa razão?
Solução:
Razão =
Razão
= 90 km/h (lê-se
"90 quilômetros por hora").
Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.
3) Densidade
demográfica:
- O estado do Ceará no último
censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de
145.694 km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a
área desse estado. O que significa essa razão?
Solução:
Razão =
Razão
= 46 hab/km2 (lê-se
"46 habitantes por quilômetro quadrado").
Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46
habitantes.
4) Densidade
absoluta ou massa específica:
- Um cubo de ferro de 1cm de
aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o volume
desse corpo. O que significa essa razão?
Solução:
Volume = 1cm . 1cm . 1cm
= 1cm3
Razão =
Razão
= 7,8 g/cm3 (lê-se
"7,8 gramas por centímetro cúbico").
Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g.
Proporções
Rogério
e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogério pesa 120kg, e seu cão, 40kg.
Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.
Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:
Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:
Verificamos
que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade
é uma proporção. Assim:
Proporção é uma igualdade entre duas
razões.
Elementos
de uma proporção
Dados
quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles
formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º
para o 4º. Assim:
|
|
(lê-se
"a está para b assim como c está para d")
Os números a, b, c e d são os termos da proporção,
sendo:
- b e c os meios da
proporção.
- a e d os extremos da
proporção.
Exemplo:
Dada
a proporção
, temos:
Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.
Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36
Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.
Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36
Propriedade
fundamental das proporções
Observe
as seguintes proporções:
|
|
Produto dos meios = 4.30 = 120
Produto dos extremos = 3.40 = 120 |
|
|
|
|
|
|
|
Produto dos meios = 9.20 = 180
Produto dos extremos = 4.45 = 180 |
|
|
|
|
|
|
|
Produto dos meios = 8.45 = 360
Produto dos extremos = 5.72 = 360 |
|
De
modo geral, temos que:
|
|
Daí
podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:
Em
toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Aplicações
da propriedade fundamental
Determinação
do termo desconhecido de uma proporção
Exemplos:
- Determine o valor de x na
proporção:
Solução:
5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental)
5 . x = 120
x = 24
5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental)
5 . x = 120
x = 24
Logo, o valor de x é 24.
- Determine o valor de x na
proporção:
Solução:
5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental)
5x - 15 = 8x + 4
5x - 8x = 4 + 15
-3x = 19
3x = -19
x =
5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental)
5x - 15 = 8x + 4
5x - 8x = 4 + 15
-3x = 19
3x = -19
x =
Logo, o valor de x é
.
- Os números 5, 8, 35 e x formam,
nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.
Solução:
5 . x = 8 . 35
5x = 280
x = 56
5x = 280
x = 56
Logo, o valor de x é 56.
Resolução
de problemas envolvendo proporções
Exemplo:
- Numa salina, de cada metro
cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de
sal. Para obtermos 2 m3de sal, quantos metros cúbicos de água
salgada são necessários?
Solução:
A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água
salgada.
Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:
Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:
Lembre-se
que 40dm3 = 0,04m3.
1 . 2 = 0,04 . x
0,04x = 2
x = 50 m3
0,04x = 2
x = 50 m3
Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.
Quarta
proporcional
Dados
três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta
proporcional desses números um número x tal que:
|
|
Exemplo:
- Determine a quarta proporcional
dos números 8, 12 e 6.
Solução: Indicamos
por x a quarta proporcional e armamos a proporção:
8 . x = 12 . 6
8 . x = 72
x = 9
Logo,
a quarta proporcional é 9.
Proporção
contínua
Considere
a seguinte proporção:
Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção
contínua. Assim:
Proporção
contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais.
De
um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:
|
|
Terceira
proporcional
Dados
dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira
proporcional desses números o número x tal que:
|
|
Exemplo:
Determine
a terceira proporcional dos números 20 e 10.
Solução
Solução
Indicamos
por x a terceira
proporcional e armamos a proporção:
20 . x = 10 . 10
20x = 100
x = 5
20x = 100
x = 5
Logo, a terceira proporcional é 5.
Média
geométrica ou média proporcional
Dada
uma proporção contínua
, o número b é
denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c. Exemplo:
- Determine a média geométrica
positiva entre 5 e 20.
Solução:
5 . 20 = b . b
100 = b2
b2 = 100
b =
b = 10
100 = b2
b2 = 100
b =
b = 10
Logo, a média geométrica positiva é 10.
Propriedades
das proporções
1ª
propriedade:
Numa
proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,
assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Demonstração
Considere as proporções:
Considere as proporções:
|
|
|
||
|
|
|||
|
Adicionando 1 a cada membro
obtemos:
|
|||
|
|
||
Exemplo:
- Determine x e y na proporção
Solução:
Assim:
x+y = 84 => x =
84-y => x = 84-48 =>
x=36.
Logo, x=36 e y=48.
2ª
propriedade:
Numa
proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,
assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Demonstração
Considere
as proporções:
|
|
|
||
|
|
|||
|
Subtraindo 1 a cada membro
obtemos:
|
|||
|
(Mult. os 2 membros por -1)
|
||
Exemplo:
- Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção
Solução:
Pela 2ª propriedade temos que:
x-y = 18 =>
x=18+y => x = 18+12 =>
x=30.
Logo, x=30 e y=12.
Logo, x=30 e y=12.
3ª
propriedade:
Numa
proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes,
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
Demonstração
Considere a proporção:
Considere a proporção:
Permutando
os meios, temos:
Aplicando
a 1ª propriedade, obtemos:
Permutando
os meios, finalmente obtemos:
|
|
4ª
propriedade:
Numa
proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes,
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
Demonstração
Considere a proporção:
Considere a proporção:
Permutando
os meios, temos:
Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:
Permutando
os meios, finalmente obtemos:
|
|
Exemplo:
- Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção
Solução:
Pela
4ª propriedade, temos que:
5ª
propriedade:
Numa
proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes,
assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.
assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.
Demonstração
Considere
a proporção:
Multiplicando
os dois membros por
, temos:
Assim:
Proporção múltipla
Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:
Dada a série
de razões iguais
, de acordo com
a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever:
3.2. Regra de três simples e composta.
Regra de três simples
Regra
de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam
quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar
um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela,
agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as
grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas
são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver
a equação.
Exemplos:
1) Com
uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com
motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia.
Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
|
Área (m2)
|
Energia
(Wh)
|
|
1,2
|
400
|
|
1,5
|
x
|
Identificação do tipo de relação:
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
|
|
|
Logo,
a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um
trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado
percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade
utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
|
Velocidade
(Km/h)
|
Tempo
(h)
|
|
400
|
3
|
|
480
|
x
|
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente
colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
|
|
|
Logo,
o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
3) Bianca
comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas
do mesmo tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
|
Camisetas
|
Preço
(R$)
|
|
3
|
120
|
|
5
|
x
|
Observe
que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo,
a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma
equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em
20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que
prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
|
Horas
por dia
|
Prazo
para término (dias)
|
|
8
|
20
|
|
5
|
x
|
Observe
que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo
para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Regra de três composta
A
regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas,
direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em
8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas,
quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela,
colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as
grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
|
Horas
|
Caminhões
|
Volume
|
|
8
|
20
|
160
|
|
5
|
x
|
125
|
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o
volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões.
Portanto a relação é diretamente
proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar
a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de
acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a
equação temos:
|
|
|
Logo,
serão necessários 25 caminhões.
2) Numa
fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos
carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
|
Homens
|
Carrinhos
|
Dias
|
|
8
|
20
|
5
|
|
4
|
x
|
16
|
Observe
que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o
número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação
também é diretamente proporcional (não
precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo
x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a
equação temos:
Logo,
serão montados 32 carrinhos.
Inicialmente
colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se
flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com
a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais,
como mostra a figura abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a
equação temos:
Logo,
para completar o muro serão necessários 12 dias.
Exercícios
complementares
Agora
chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses
exercícios:
1) Três torneiras enchem uma
piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2
piscinas? Resposta: 6 horas.
2) Uma equipe composta de 15
homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20
homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?
Resposta: 35 dias.
3) Vinte operários, trabalhando 8
horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo
levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir
um muro de 225m? Resposta: 15 dias.
4) Um caminhoneiro entrega uma
carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h.
Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a
uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.
5) Com uma certa quantidade de
fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos.
Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam
produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.
3.3. Porcentagem.
É
frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços,
números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
- A gasolina teve um aumento de
15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 - O cliente recebeu um desconto
de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 - Dos jogadores que jogam no
Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques
Razão
centesimal
Toda
a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão
centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas
percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
Logo,
ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
Portanto,
chegamos a seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos
uma taxa percentual a um determinado valor.
Exemplos:
- Calcular
10% de 300
- Calcular
25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
Exercícios:
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
2)
Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual
a taxa percentual de lucro obtida?
Montamos
uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou
em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de
20%.
Uma
dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.
Se,
por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor,
podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10,
que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20,
e assim por diante. Veja a tabela abaixo:
|
Acréscimo
ou Lucro
|
Fator
de Multiplicação
|
|
10%
|
1,10
|
|
15%
|
1,15
|
|
20%
|
1,20
|
|
47%
|
1,47
|
|
67%
|
1,67
|
Exemplo: Aumentando 10% no valor de
R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00
No
caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja
a tabela abaixo:
|
Desconto
|
Fator
de Multiplicação
|
|
10%
|
0,90
|
|
25%
|
0,75
|
|
34%
|
0,66
|
|
60%
|
0,40
|
|
90%
|
0,10
|
Exemplo: Descontando 10% no valor de
R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00
3.4. Juros simples.
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
Onde:
|
J = juros
P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos |
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que
deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos
pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
J
= 1000 x 0.08 x 2 = 160
Ao
somarmos os juros ao valor principal temos o montante.
Montante
= Principal + Juros
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
Exemplo: Calcule o montante resultante da
aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
M = P . ( 1 + (i.n) )
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe
que expressamos a taxa i e o período n, na mesma
unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter
o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
Exercícios sobre juros simples:
1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13
% a.t. por 4 meses e 15 dias.
0.13
/ 6 = 0.02167
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
j = 1200 x 0.195 = 234
2 - Calcular os juros simples produzidos por
R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
Temos: J = P.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de
1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano,
quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de
capitalização simples?
Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:
Objetivo: M = 2.P
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = P (1 + i.n)
Desenvolvimento:
2P
= P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8
meses
Nenhum comentário:
Postar um comentário