Funções

Funções

Definição

Dados dois conjuntos A e B não vazios , chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por
f : A à B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A ,
um único elemento de B .

Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função , exige-se que a cada x Î A esteja associado um único y Î B , podendo entretanto existir y Ï B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A.

Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja: 

y está associado a x através da função f.

Para introduzir este tópico, vamos desenvolver um exemplo com base no conteúdo já estudado.

Com os conjuntos A={1, 4, 7} e B={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} criamos a função f: A —> B. definida por f(x) = x + 5 que também pode ser representada por y = x + 5. A representação, utilizando conjuntos, desta função, é:

O conjunto A é o conjunto de saída e o B é o conjunto de chegada (ignore o conjunto azul por enquanto).

Domínio é um sinônimo para conjunto de saída, ou seja, para esta função o domínio é o próprio conjunto A = {1, 4, 7}.

Como, em uma função, o conjunto de saída (domínio) deve ter todos os seus elementos relacionados (regra 2 das funções), não precisamos ter subdivisões para o domínio.

O domínio de uma função também é chamado de campo de definição ou campo de existência da função, e é representado pela letra "D".

O conjunto de chegada "B", também possui um sinônimo, é chamado de contradomínio.

Note que podemos fazer uma subdivisão dentro do contradomínio (conjunto azul da figura acima). Podemos ter elementos do contradomínio que não são relacionados com algum elemento do Domínio e outros que são. Por isso, devemos levar em consideração esta subdivisão (esta é até mais importante do que o próprio contradomínio).

Este subconjunto é chamado de conjunto imagem, e é composto por todos os elementos em que as flechas de relacionamento chegam.

O conjunto Imagem é representado por "Im", e cada ponto que a flecha chega é chamado de imagem.

*Obs.: Note que existe uma diferença entre imagem e conjunto imagem, o primeiro é um ponto em que a flecha de relacionamento toca, e o segundo é o conjunto de todos elementos que as flechas tocam.

No nosso exemplo, o domínio é D = {1, 4, 7}, o contra-domínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o conjunto imagem é Im = {6, 9, 12} e:

- a imagem do ponto x = 1 é y = 6, indicado por f(1) = 6;
- a imagem do ponto x = 4 é y = 9, indicado por f(4) = 9;
- a imagem do ponto x = 7 é y = 12, indicado por f(7) = 12.

Exemplo 1

Dada a função h: {-3, 0, 3, 8} —>{-2, 0, 15, 18, 27, 40} definida pela lei . Indique o Domínio, Contra-Domínio e Imagem desta função.

Resolução:

Domínio é o conjunto de saída: {-3, 0, 3, 8}

Contradomínio é o conjunto de chegada: {-2, 0, 15, 18, 27, 40}

Agora devemos ver a imagem de cada um dos elementos do domínio.

Para x=-3 temos
Para x=0 temos
Para x=3 temos
Para x=8 temos

Como encontramos todas as imagens, podemos agora formar o conjunto Imagem da função.

Im = {0, 18, 40}

*Note que, no enunciado, foi pedido apenas a imagem da função, ou seja, não foi dito conjunto imagem. Como não está se referindo a algum ponto (por exemplo, imagem de x = 3), consideramos que foi pedido todo o conjunto imagem.

Exemplo 2

A função agora é definida por y = 2x + B. Temos que calcular o valor de B, sabendo que f(1) = 3.

Resolução:

Agora o exercício muda um pouco de figura. Ele dá uma imagem, no caso f(1) = 3, e pede pra acharmos o termo "B" da lei de formação.

Vamos ver...
sabendo que y = f(x), então

f(x) = 2x + B     e     f(1) = 2.(1) + B,     e também     f(1) = 3    então:

3 = 2.(1) + B        agora aplicando as propriedades das operações,
3 = 2 + B
3 - 2 = B
1 = B

Portanto, a lei de formação da função é y=2x+1 ou f(x)=2x+1.